Dua penjudi, satu pot yang belum selesai: bagaimana sepucuk surat pada 1654 melahirkan teori peluang

Bayangkan dua orang duduk mengadu untung. Keduanya menaruh uang sama banyak ke tengah meja, sepakat bahwa siapa pun yang lebih dulu memenangkan tiga ronde berhak atas seluruh tumpukan. Ronde bergulir, skor menjadi dua-satu, lalu sesuatu memaksa mereka berhenti: hujan turun, ada urusan mendadak, entah apa. Uang masih tergeletak di meja, belum jadi milik siapa-siapa. Pertanyaannya terdengar remeh: bagaimana membaginya dengan adil?

Selama hampir dua ratus tahun, tidak ada yang bisa menjawabnya dengan benar. Persoalan ini punya nama di kalangan matematikawan Renaisans, yaitu problem of points atau masalah pembagian angka, dan ia mengalahkan sejumlah otak paling tajam di Eropa. Baru pada musim panas 1654 jawabannya ketemu, lewat pertukaran surat antara dua orang Prancis yang bahkan tidak pernah bertemu langsung untuk membahasnya. Dan jawaban itu ternyata bukan sekadar cara membelah pot judi; ia adalah kelahiran sebuah cabang matematika.

Pertanyaan dari seorang bangsawan yang gemar bertaruh

Orang yang melempar pertanyaan ini kepada Blaise Pascal adalah Antoine Gombaud, yang lebih suka menyebut dirinya Chevalier de Méré, seorang penulis dan penjudi yang punya cukup rasa ingin tahu untuk merasa terganggu oleh soal yang tak ia mengerti. De Méré membawa beberapa teka-teki meja ke Pascal, dan yang satu ini yang paling membandel.

Perhatikan bahwa kesulitannya bukan soal berhitung. Siapa pun bisa menjumlahkan skor. Kesulitannya soal keadilan: atas dasar apa pembagian disebut adil? Jawaban naif langsung menyodorkan diri: bagi menurut skor yang sudah dicapai. Kalau skor dua-satu, bagi tumpukan dengan perbandingan dua berbanding satu. Terdengar masuk akal, dan justru di situ jebakannya.

Kenapa jawaban yang paling masuk akal itu salah

Membagi menurut skor saat ini punya cacat yang baru kelihatan kalau kita mendorongnya ke ujung. Andai aturannya “pertama mencapai sepuluh ronde menang”, lalu permainan berhenti pada skor satu-nol. Menurut logika bagi-menurut-skor, pemain yang unggul satu-nol harus mengambil seluruh pot, sebab lawannya belum mencetak apa-apa. Padahal keunggulan satu ronde dari sepuluh nyaris tak berarti; kedua pemain masih punya peluang menang yang hampir seimbang. Membagi habis untuk salah satu jelas tidak adil.

Luca Pacioli, seorang biarawan matematikawan, sudah mencoba menjawabnya pada 1494 dan tersandung tepat di lubang ini: ia mengusulkan pembagian menurut skor berjalan, dan pada contohnya sendiri ia membelah pot lima berbanding tiga hanya karena skornya lima-tiga. Setengah abad kemudian Niccolò Tartaglia menyadari usulan Pacioli keliru, tetapi tak sanggup menawarkan gantinya; ia menyerah dengan kesimpulan pahit bahwa cara apa pun membagi pot pasti menyisakan alasan untuk bersengketa. Yang mereka lewatkan sama: pembagian yang adil tidak ditentukan oleh ronde yang sudah dimenangkan, melainkan oleh peluang menang seandainya permainan dilanjutkan.

Cara Pascal: berpikir mundur satu langkah

Di sinilah Pascal masuk dengan gagasan yang begitu sederhana sampai terasa curang. Ambil kasus konkret dari suratnya sendiri, tertanggal 29 Juli 1654. Dua pemain masing-masing menaruh 32 pistoles, jadi pot berisi 64. Yang menang butuh tiga ronde. Permainan berhenti saat skor dua-satu: pemain pertama tinggal butuh satu ronde lagi, pemain kedua butuh dua.

Pascal berkata: mari kita andaikan mereka main satu ronde tambahan, lalu pikirkan apa yang terjadi. Kalau pemain pertama menang ronde khayalan itu, ia mencapai tiga dan mengambil seluruh 64. Kalau ia kalah, skor menjadi imbang dua-dua, dan dalam keadaan seri seperti itu masing-masing berhak menarik kembali 32 miliknya. Jadi apa pun yang terjadi pada ronde tambahan, pemain pertama sudah dijamin memegang 32. Yang benar-benar dipertaruhkan hanyalah 32 sisanya — dan karena kedua kemungkinan ronde tambahan itu sama peluangnya, sisa 32 itu dibelah rata: masing-masing enam belas.

Hasilnya: pemain pertama berhak atas 32 tambah 16, yaitu 48 pistoles; pemain kedua atas 16. Perbandingan tiga berbanding satu, bukan dua berbanding satu seperti dugaan naif dari skor. Perhatikan apa yang barusan terjadi: Pascal tidak membagi menurut apa yang sudah lewat, ia membagi menurut nasib yang belum datang, dengan menimbang setiap kemungkinan masa depan dan bobot peluangnya. Metode “mundur satu ronde” ini bisa diulang untuk skor apa pun, dan Pascal menghubungkannya dengan susunan angka yang kini kita kenal sebagai segitiga aritmetika miliknya.

Cara Fermat: menghitung semua masa depan yang mungkin

Pierre de Fermat, yang berkorespondensi dengan Pascal soal ini, sampai ke jawaban yang sama lewat jalan yang sama sekali berbeda, dan justru perbedaan jalan itu yang meyakinkan keduanya bahwa jawabannya benar. Fermat tidak berpikir mundur; ia mendaftar maju. Ambil skor dua-satu dengan aturan pertama-mencapai-tiga: seandainya permainan diteruskan, paling banyak dibutuhkan beberapa ronde lagi untuk memastikan ada pemenang. Fermat menuliskan semua rangkaian hasil yang mungkin dari ronde-ronde sisa itu, memperlakukan tiap rangkaian sama peluangnya, lalu menghitung berapa banyak yang berakhir dengan kemenangan tiap pemain.

Pada kasus setara “unggul dua-satu di permainan lima ronde”, ada empat kelanjutan yang sama mungkin, dan tiga di antaranya dimenangkan si pemimpin — jadi ia berhak atas tiga perempat pot. Angka yang sama, tiga berbanding satu. Fermat bahkan menegaskan dalam suratnya bahwa hasil ini tak bergantung pada seberapa jauh kita membayangkan permainan diperpanjang; enumerasi yang jujur selalu memberi pembagian yang sama. Metodenya lugas dan tak terbantahkan, meski jadi merepotkan bila ronde tersisa banyak — daftar kemungkinannya membengkak cepat. Di situlah rekursi Pascal lebih hemat, dan enumerasi Fermat lebih gamblang; dua wajah dari satu kebenaran.

Kedua orang ini bahkan sempat menggarap versi yang lebih pelik: tiga pemain sekaligus, satu butuh satu ronde lagi sementara dua lainnya butuh dua. Dari dua puluh tujuh rangkaian yang mungkin, pot terbagi tujuh belas, lima, dan lima. Sekali lagi bukan menurut skor, melainkan menurut peta lengkap kemungkinan yang belum terjadi.

Yang sebenarnya lahir di antara dua tanda tangan

Mudah menganggap ini sekadar teka-teki judi yang akhirnya terpecahkan. Tetapi lihat lebih dekat apa yang Pascal dan Fermat lakukan tanpa menyebut namanya. Untuk membagi pot, keduanya harus menghitung sesuatu seperti ini: untuk tiap pemain, jumlahkan setiap hasil akhir yang mungkin, kalikan dengan peluang hasil itu terjadi, dan itulah “haknya”. Bagian yang adil dari pot ternyata sama persis dengan berapa yang pantas diharapkan seorang pemain menangkan bila permainan tuntas.

Gagasan itu — menimbang tiap kemungkinan dengan peluangnya untuk mendapat sebuah nilai rata-rata yang wajar, adalah embrio dari apa yang kelak disebut nilai harapan, konsep yang hari ini menopang segalanya dari premi asuransi, harga opsi keuangan, sampai cara mesin menghitung risiko. Tiga tahun setelah surat-surat itu, Christiaan Huygens di Belanda menuliskannya menjadi buku cetak pertama tentang peluang, dan dari sana ia menyebar ke seluruh matematika.

Ada semacam ironi yang manis di sini. Selama berabad-abad orang memperlakukan judi sebagai wilayah nasib murni, tempat akal tak punya pijakan. Ternyata justru dari meja judi, dari pertanyaan sepele tentang pot yang belum selesai dibagi, manusia untuk pertama kalinya belajar menghitung ketidakpastian itu sendiri. Dua penjudi yang berhenti di tengah permainan tak pernah tahu bahwa pertengkaran kecil mereka tentang uang di meja akan memaksa lahirnya sebuah cara baru memandang masa depan.