Cukup 23 orang untuk taruhan yang hampir selalu Anda menangkan: paradoks ulang tahun
Di sebuah ruangan berisi 23 orang, peluang ada dua yang berulang tahun di tanggal sama sudah melewati lima puluh persen. Angka itu terasa mustahil sampai Anda menghitungnya, dan cara menghitungnya mengajarkan satu kebiasaan berpikir yang sering keliru.
Ada sebuah taruhan yang bisa Anda tawarkan di ruangan mana pun berisi cukup banyak orang, dan hampir selalu menang. Tantang teman-teman Anda: di antara semua yang hadir, pasti ada setidaknya dua orang yang berulang tahun di tanggal yang persis sama. Bila ruangan itu berisi dua puluh tiga orang, peluang Anda menang sudah lebih dari separuh. Bila berisi lima puluh, Anda menang sekitar sembilan puluh tujuh dari seratus kali. Angka-angka ini terdengar mustahil, sebab satu tahun punya tiga ratus enam puluh lima hari dan dua puluh tiga terasa jauh terlalu sedikit. Justru di jurang antara yang terasa dan yang sebenarnya itulah letak salah satu pelajaran terindah tentang peluang.
Kenapa intuisi kita meleset jauh
Kesalahan yang hampir semua orang lakukan adalah mengajukan pertanyaan yang salah. Ketika mendengar soal ini, pikiran otomatis bertanya: berapa peluang seseorang berulang tahun di tanggal yang sama dengan saya? Pertanyaan itu memang menghasilkan angka kecil, sebab Anda membandingkan diri Anda dengan orang lain satu per satu. Tetapi bukan itu yang ditanyakan. Soalnya menanyakan peluang ada sepasang mana pun yang cocok, bukan sepasang yang melibatkan Anda.
Perbedaan itu mengubah segalanya, karena yang meledak jumlahnya bukan orang, melainkan pasangan. Di ruangan berisi dua puluh tiga orang, jumlah pasangan yang bisa dibentuk adalah dua puluh tiga dikali dua puluh dua dibagi dua, yaitu dua ratus lima puluh tiga pasang. Setiap satu dari dua ratus lima puluh tiga pasang itu adalah satu kesempatan untuk cocok. Tiba-tiba dua puluh tiga orang tidak terdengar sedikit lagi; mereka membawa lebih dari dua ratus peluang tersembunyi untuk bertepatan.
Menghitungnya lewat pintu belakang
Cara paling bersih menghitung peluang ini bukan dengan menjumlahkan semua kemungkinan cocok, melainkan dengan menghitung kebalikannya lebih dulu: berapa peluang tidak ada satu pun yang cocok, lalu kurangi dari satu. Teknik ini, menghitung komplemen, adalah salah satu alat paling ampuh dalam probabilitas justru karena “tidak ada yang cocok” jauh lebih mudah dihitung daripada “ada yang cocok”.
Bayangkan orang masuk ruangan satu per satu. Orang pertama bebas lahir di tanggal mana saja. Orang kedua, agar tidak bertabrakan, harus menghindari satu tanggal yang sudah terpakai, jadi ia punya tiga ratus enam puluh empat dari tiga ratus enam puluh lima hari yang aman. Orang ketiga harus menghindari dua tanggal, jadi tiga ratus enam puluh tiga dari tiga ratus enam puluh lima. Begitu seterusnya, tiap orang baru punya sedikit lebih sedikit tanggal aman. Peluang seluruh ruangan lolos tanpa satu pun tabrakan adalah hasil kali seluruh pecahan yang menyusut itu:
P(tidak ada yang cocok) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × … menurun untuk tiap orang
Untuk dua puluh tiga orang, hasil kali itu jatuh ke sekitar 0,493. Artinya peluang tidak ada yang cocok hanya sekitar 49 persen, sehingga peluang ada yang cocok adalah sisanya, sekitar 50,7 persen. Cukup melewati setengah, tepat pada angka yang terasa terlalu kecil. Tiap orang tambahan mempercepat penurunan, karena pecahan yang dikalikan makin kecil, dan peluang tabrakan menanjak dengan cepat.
Betapa cepat angkanya menanjak
Yang membuat paradoks ini makin memukau adalah kecepatan kenaikannya begitu Anda melewati dua puluh tiga orang. Berikut peta kasarnya, yang bisa Anda periksa dengan perhitungan yang sama:
| Jumlah orang | Peluang ada yang berulang tahun sama |
|---|---|
| 23 | sekitar 50,7% |
| 30 | sekitar 70,6% |
| 41 | sekitar 90,3% |
| 57 | sekitar 99,0% |
| 70 | sekitar 99,9% |
Perhatikan bahwa untuk mencapai keyakinan hampir sempurna, Anda tidak butuh mendekati tiga ratus enam puluh lima orang. Hanya tujuh puluh orang sudah memberi peluang sembilan puluh sembilan koma sembilan persen. Intuisi naif akan menebak bahwa Anda perlu ratusan orang untuk mendekati kepastian, sebab ada tiga ratus enam puluh lima kemungkinan tanggal. Kenyataannya, karena yang berlipat adalah pasangan dan bukan orang, keyakinan hampir penuh tercapai jauh lebih awal.
Bukan cuma trik pesta
Mudah menganggap ini sekadar teka-teki lucu untuk memenangkan taruhan kecil, tetapi prinsip di baliknya punya bobot nyata. Gagasan bahwa “kecocokan” jauh lebih mungkin terjadi daripada yang kita duga, karena jumlah pasangan tumbuh secara kuadratik terhadap jumlah anggota, adalah inti dari sebuah persoalan penting dalam keamanan komputer. Teknik yang disebut serangan ulang tahun memanfaatkan persis logika ini untuk menemukan dua masukan berbeda yang menghasilkan sidik digital sama, jauh lebih cepat daripada yang diperkirakan orang. Perancang sistem keamanan harus memperhitungkan paradoks ulang tahun ketika menentukan seberapa panjang sebuah kode pengaman harus dibuat agar tabrakan tetap sulit.
Di luar itu, paradoks ulang tahun adalah pengingat yang sehat tentang cara kita salah menaksir kebetulan. Ketika dua orang di sebuah pertemuan ternyata punya kenalan yang sama, atau ketika sebuah nomor “kebetulan” muncul dua kali, kita cenderung merasa ada yang istimewa. Sering kali yang terjadi hanyalah paradoks ulang tahun dalam samaran lain: begitu banyak pasangan yang mungkin dibandingkan, sehingga sebuah kecocokan yang tampak ajaib sebenarnya nyaris tak terhindarkan. Ruangan berisi dua puluh tiga orang mengajari kita bahwa keacakan, dihitung dengan benar, jauh lebih penuh kejutan yang dapat diramalkan daripada yang kita kira.