Kurva lonceng lahir dari lemparan koin: Abraham de Moivre, jenius yang hidup di kedai kopi

Kurva lonceng adalah salah satu bentuk paling terkenal dalam sains, muncul di mana-mana dari nilai ujian sampai tinggi badan sampai galat pengukuran. Kebanyakan orang mengaitkannya dengan nama Gauss, dan memang salah satu sebutannya adalah distribusi Gaussian. Tetapi orang yang pertama kali menurunkan kurva itu hidup enam dekade sebelum Gauss, seorang pengungsi Prancis yang tak pernah mendapat kursi profesor dan menyambung hidup dengan menjawab pertanyaan matematika di meja kedai kopi London. Namanya Abraham de Moivre, dan ia menemukan kurva lonceng bukan dari data alam, melainkan dari soal yang paling sederhana yang bisa dibayangkan: bagaimana menghitung peluang bila sebuah koin dilempar ribuan kali.

Seorang pengungsi yang berteman dengan Newton

De Moivre lahir di Prancis pada 1667, seorang Protestan Huguenot pada masa yang sangat buruk untuk menjadi Protestan di negeri itu. Ketika Raja Louis XIV mencabut perlindungan hukum bagi kaum Protestan pada 1685, persekusi memuncak, dan de Moivre termasuk yang dipenjara sebelum akhirnya mengungsi ke Inggris. Di tanah rantau itulah ia menghabiskan sisa hidupnya dan menulis seluruh karyanya dalam bahasa Inggris.

Kecerdasannya diakui kalangan terpandang. Ia berteman dengan Isaac Newton dan Edmond Halley, dan ada kisah masyhur bahwa Newton kadang mengalihkan pertanyaan matematis kepadanya dengan berkata bahwa de Moivre lebih memahami hal-hal itu daripada dirinya sendiri. Namun pengakuan intelektual tidak berujung pada kemapanan. Sebagai imigran, de Moivre tak pernah memperoleh jabatan profesor di Inggris, dan ia menyambung hidup sebagai guru privat matematika serta penasihat soal peluang, sering bekerja dari meja kedai kopi tempat orang mencarinya untuk berkonsultasi. Seorang jenius kelas dunia yang hidup nyaris pas-pasan adalah gambaran yang layak direnungkan.

Buku peluang yang menjadi rujukan

Karya besar de Moivre berjudul The Doctrine of Chances, sebuah risalah tentang peluang yang terbit dalam beberapa edisi, yaitu 1718, 1738, dan 1756, dengan pendahulu berbahasa Latin sejak 1711. Buku itu menjadi salah satu rujukan terpenting tentang probabilitas pada masanya, memuat penyelesaian beragam soal peluang yang jauh melampaui apa yang tersedia sebelumnya. Tetapi sumbangan de Moivre yang paling abadi bukan salah satu soal di dalamnya, melainkan sebuah alat yang ia kembangkan untuk menyelesaikan satu jenis persoalan yang membandel.

Masalah lemparan koin yang tak terhitung

Persoalan itu begini. Bila Anda melempar koin adil sejumlah besar kali, katakanlah beberapa ribu, berapa peluang jumlah sisi kepala jatuh dalam rentang tertentu? Secara prinsip jawabannya bisa dihitung dengan rumus binomial, menjumlahkan peluang tiap kemungkinan hasil. Tetapi untuk jumlah lemparan yang besar, perhitungan itu menjadi mustahil dilakukan dengan tangan; jumlah sukunya membengkak sampai tak tertangani.

De Moivre mencari jalan pintas, dan pada 1733 ia menemukannya. Ia menunjukkan bahwa untuk jumlah lemparan yang besar, sebaran hasil binomial itu bisa didekati dengan sangat rapat oleh sebuah kurva mulus berbentuk lonceng. Alih-alih menjumlahkan ribuan suku, seseorang cukup menghitung luas di bawah kurva itu. Kurva mulus yang ia turunkan sebagai pendekatan itulah yang kini kita kenal sebagai distribusi normal. De Moivre sampai ke sana bukan dengan mengamati fenomena alam, melainkan murni sebagai alat hitung untuk menjinakkan lemparan koin yang terlalu banyak untuk dihitung satu per satu.

Menemukan akar dari deviasi standar

Dalam menurunkan pendekatan itu, de Moivre menyadari sesuatu yang sama pentingnya dengan kurvanya. Ia melihat bahwa sebaran hasil selalu memusat di sekitar nilai rata-rata yang diharapkan, dan bahwa lebar sebaran itu tidak tumbuh sebanding dengan jumlah lemparan, melainkan sebanding dengan akar kuadrat jumlah lemparan. Dengan kata lain, bila Anda melipatempatkan jumlah lemparan, lebar sebarannya hanya berlipat dua. Hubungan akar kuadrat ini adalah cikal bakal dari konsep yang kelak dinamai deviasi standar, ukuran baku tentang seberapa jauh data tersebar di sekitar rata-ratanya. Gagasan bahwa ketidakpastian menyusut sebanding dengan akar jumlah pengamatan, bukan sebanding dengan jumlahnya, adalah salah satu wawasan paling berguna dalam seluruh statistika, dan de Moivre sudah memegangnya pada abad kedelapan belas.

Sebuah legenda tentang kematian yang terhitung

Tak ada kisah tentang de Moivre yang lebih sering diulang daripada cerita kematiannya, dan kejujuran menuntut kita memperlakukannya dengan hati-hati. Menurut cerita itu, di usia senjanya de Moivre memperhatikan bahwa ia tidur sedikit lebih lama tiap malam, bertambah sekitar seperempat jam setiap hari. Ia lalu menghitung, sebagai deret aritmetika, kapan total waktu tidurnya akan mencapai dua puluh empat jam penuh, dan meramalkan bahwa pada hari itulah ia akan meninggal. Ia memang wafat pada tanggal itu, 27 November 1754, seolah membuktikan ramalannya sendiri.

Cerita itu terlalu rapi untuk tidak dicurigai, dan memang patut. Tanggal kematiannya, 27 November 1754, adalah fakta. Tetapi klaim bahwa ia meramalkannya lewat perhitungan tidur tidak terdokumentasi pada masa kejadiannya, dan para sejarawan menandainya sebagai anekdot yang kemungkinan besar legenda, bukan peristiwa terverifikasi. Menariknya, legenda ini bertahan justru karena begitu cocok dengan citra de Moivre: seorang yang bahkan memandang kematiannya sendiri sebagai soal peluang dan deret angka.

Terlepas dari benar atau tidaknya kisah tidur itu, warisan de Moivre nyata dan besar. Setiap kali seseorang menyebut kurva lonceng, menghitung deviasi standar, atau mengandalkan bahwa rata-rata dari banyak pengamatan akan mengumpul secara teratur, ia sedang berdiri di atas fondasi yang diletakkan seorang pengungsi Prancis yang menurunkan seluruhnya dari lemparan koin, di meja kedai kopi, di sebuah negeri yang tak pernah memberinya jabatan yang pantas ia terima.